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Binomialkoeffizient Rechner

Der Binomialkoeffizient dient dazu, Aufgaben aus dem mathematischen Teilgebiet der Kombinatorik zu lösen. Er zeigt, auf wie viele verschiedene Arten Sie k Elemente aus einer Menge von n Elementen auswählen.

Ein berühmtes Beispiel ist die Lottoziehung. Allgemein ausgedrückt ist der Binomialkoeffizient die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Der Binomialkoeffizient Rechner berechnet aus den Eingaben der Zahlen n und k das gesuchte Resultat mit einem Klick.

n:
( n ) = n!
k (k!(n-k)!)
k:

Worum geht es in der Kombinatorik?

Sie beschäftigt sich mit endlichen oder abzählbar unendlichen Strukturen. Sie gehört dem Begriff diskrete Mathematik zugeordnet. George Polya bezeichnet sie als Untersuchung der Existenz, des Abzählens und der Konstruktion von Konfigurationen.

Sie entstand aus Abzählproblemen bei Glücksspielen im 17. Jahrhundert. Da für jedes Problem eine neue Strategie vonnöten war spielte die Kombinatorik in der Mathematik lange Zeit eine Außenseiterrolle.

 

Was ist der Binomialkoeffizient?

Den Binomialkoeffizienten berechnen Sie aus den Zahlen n und k.

k ist die Anzahl der Elemente, die Sie aus der gesamten Menge mit n Elementen auswählen. Beim ersten Teil sprechen wir von n über k oder n tief k Elementen. Der Binomialkoeffizient bezeichnet den Koeffizienten eines Binoms.

 

Koeffizient

Ein Koeffizient ist eine Beizahl zu einem mathematischen Ausdruck. Das Wort stammt vom lateinischen "coefficere", was "mitwirken" bedeutet. Der Koeffizient ist eine konstante Zahl oder Variable, die vor einem rechnerischen Ausdruck als Faktor zu stehen kommt. In diesem Fall handelt es sich um ein Binom.

 

Was ist ein Binom?

Der Name Binom stammt von den lateinischen Begriffen "bi" und "nomen", was zwei Namen bedeutet. In der Mathematik ist ein Binom ein Polynom mit zwei Gliedern, die Summe oder die Differenz zweier Monome. Beispiele sind a+b, x2-y2 oder

 

Fakultät !

n! bedeutet n Fakultät. Bei n = 5 ist n! = 1*2*3*4*5. Das Ergebnis ist 120. Sie ordnet einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen (ohne Null) kleiner oder gleich der Zahl zu.

Die Abkürzung erfolgt durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen. 1808 benutzte der elsässische Mathematiker Christian Kamp zum ersten Mal diese Notation. Zehn Jahre früher führte er den Begriff "faculté" ein, der in Deutsch Fähigkeit bedeutet. Fakultät von 0 ist ein Spezialfall: Sie ist gleich 1.

Hier ein Beispiel für den zweiten Teil der Formel .

Bei n = 4 und k = 3 sieht sie wie folgt aus:

 =  = 4

Da vier minus drei eins ergibt benötigt die Fakultät keine zusätzlichen Faktoren. Das Ergebnis ist deshalb vier.

Wie funktioniert der Binomialkoeffizient Rechner?
Zu Beginn stehen zwei leere Felder neben den Variablen n und k:

n:________

k:________

Geben Sie die gegebenen Zahlen ein. Daneben stehen zur Information die beiden Formeln, deren Erklärung Sie oberhalb im Text finden. Danach klicken Sie auf das Feld "Berechnen". Innerhalb von Sekunden erscheint im Rechteck das Resultat.

Der Binomialkoeffizient Rechner berücksichtigt den Fall von Ziehungen ohne zurücklegen. Für Aufgaben, wo die Elemente zurück in den Topf kommen, gilt eine andere Formel.

 

Das Beispiel der Lottoziehung

Binomialkoeffizient berechnen aus der Lottoziehung ist das traditionellste Beispiel dieses Teilgebietes der Mathematik. In Deutschland kommen jede Woche sechs Zahlen aus 49 Kugeln zum Zug.

In diesem Fall ist n = 49 und k = 6. 49 ist die Gesamtanzahl der zur Verfügung stehenden Elemente und somit n. k ist die Anzahl der gezogenen Elemente. Geben Sie die beiden Zahlen ein und klicken Sie den Berechnen-Knopf.

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, sechs Richtige zu ziehen 1/13983816 ist, anders ausgedrückt 0,000007 Prozent.

Es bestehen 13.983.816 verschiedene Varianten von Ziehungen sechs unterschiedlicher Zahlen, ohne dass die Reihenfolge eine Rolle spielt. Und jedes Mal ist eine davon die richtige.

Es gibt jede Woche genau eine Möglichkeit, um sechs Richtige zu ziehen. Für fünf Richtige bestehen sechs Mal 43 = 258 Optionen. Es existieren sechs Möglichkeiten, auf fünf der sechs Richtigen zu tippen.

43 Kugeln bleiben übrig, um dem sechsten Tipp eine falsche Zahl zuzuordnen. Die Wahrscheinlichkeit, fünf Richtige zu erhalten beträgt 258/139838816. Die Reihenfolge spielt in der Ziehung keine Rolle. Die Kombinationen (3 ,4 ,7 ,35, 18, 40) ist trotz unterschiedlicher Anordnung gleichbedeutend mit (18, 7 ,4 ,40 ,3 ,35). In anderen Aufgabestellungen ist das nicht zwingend so.

 

Was bedeutet die Formel?

Schauen wir die Bedeutung der Formel im Binomialkoeffizient Rechner schrittweise an: Für die Wahl des ersten Elementes bestehen n Möglichkeiten. Im Falle der Lottoziehung gibt es 49 Optionen, wie die Zahl auf der ersten gezogenen Kugel lautet.

Danach sind 48 Kugeln übrig. Das sind in dem Fall (n-1) oder (49-1) Möglichkeiten für die zweite Ziehung. Für die dritte Wahl bleiben (49-2) und für die vierte (49-3) Elemente übrig. Das geht so weiter bis zu n-k+1 Wahlmöglichkeiten für das k-te Tupel-Element.

Ein Tupel ist eine Zusammenfassung mathematischer Elemente. Im Falle der Lottoziehung ist die Anzahl aller so konstruierten Tupel-Elemente das k-stellige Produkt n*(n-1)*(n-2) … (n-k+2)*(n-k+1).

Dies entspricht dem hinteren Teil der Formel. k! der gezählten k-Tupel sind Permutationen voneinander. Das bedeutet sie enthalten dieselben Elemente, einfach in einer anderen Reihenfolge angeordnet. Dadurch bewahrheitet sich die Formel

 

Wem dient der Binomialkoeffizient Rechner?

Er ist ideal für Schüler, die einfache Aufgaben dieser Art lösen. Studenten zu Hause oder in der Universität leistet er gute Dienste und verkürzt die Arbeitszeit. Er ist für Aufgaben anwendbar, deren n und k Zahlen unter 100 sind. Er ist für jede Person geeignet, die sich mit Aufgaben dieser Art befasst. An jedem Ort und zu jeder Zeit ist er auf der Website aufrufbar und steht zur Nutzung bereit.

Es besteht die Möglichkeit, das gesuchte Resultat auszudrucken und die Seite auf Facebook zu empfehlen. Hilfsmittel per Internet mit Bekannten zu teilen erleichtert das Leben vieler, da komplizierte Berechnungen im Kopf oder auf dem Papier wegfallen. Den Binomialkoeffizienten zu berechnen, gehört nicht zu den geläufigen mathematischen Operationen. Deshalb leistet ein Hilfsmittel wie der Online-Rechner gute Dienste.





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