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GGT Rechner

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Die Kurzform ggT bedeutet größter gemeinsamer Teiler. Der größte gemeinsame Teiler ist eine Größe in der Mathematik. Das Gegenstück dazu ist der kgV was soviel bedeutet wie kleinster gemeinsamer Vielfacher. Beim größten gemeinsamen Teiler handelt es sich um die größte Zahl, durch die beide Zahlen ohne Rest geteilt werden können. Ohne Rest teilbar bedeutet konkret: Das Ergebnis ist eine so genannte ganzrationale Zahl, also eine Zahl ohne Nachkommastellen. In der internationalen Bezeichnung wird der ggT auch oft mit gcd abgekürzt. Dias kommt aus dem Englischen und bedeutet greatest common divisor.

Rechenweg


Um den größten gemeinsamen Teiler zu ermitteln, kann man aus dem Kopf beide Zahlen in ihre einzelnen Teiler zerlegen. Dies geschieht bei relativ kleinen Zahlen recht unkompliziert. So ist es nicht schwer, beispielsweise die Zahl 18 in ihre multiplikativen Bestandteile zu zerlegen:

Zunächst einmal legen wir die Definition fest, daß jede Zahl durch 1 und sich selbst teilbar ist. Dies ist im späteren Verlauf noch von Bedeutung.

18 ist teilbar durch 1, 2, 3, 6, 9 und sich selbst also 18.

Nehmen wir als zweite Größe die Zahl 24, so ist auch die recht simpel in ihre Teiler aufsplittet:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und wiederum sich selbst also 24.

In diesem konkreten Beispiel ist der größte gemeinsame Teiler also die Zahl 6.

Wichtig in diesem Zusammenhang ist die Tatsache, daß nach der Hälfte einer jeweiligen Zahl der nächst größere Teiler nur noch die Zahl selbst kommt. Ist also die eine Zahl durch die andere Zahl teilbar, so ist in diesem Falle der größte gemeinsame Teiler immer die kleinere Zahl selbst.

Sind wir nun dagegen mit größeren Zahlen konfrontiert, bedarf es einer mathematischen Berechnung des ggT, da vermutlich niemand in der Lage ist, beispielsweise die Zahl 6538 aus dem Kopf in ihre Teiler aufzubrechen. Der Lösungsweg muss also ein anderer sein. Wie bereits erwähnt ist jede Zahl durch eins und sich selbst teilbar. Handelt es sich um eine Zahl, wo keine weiteren Teiler mehr vorhanden sind, nennt man diese Zahl Primzahl. Um eine größere Zahl in ihre Teiler zu zerlegen, muß man daher die Primzahlen ermitteln, aus denen diese Zahl besteht. Diese nennt man dann auch Primfaktoren.

Die Primfaktorenzerlegung wird wie folgt vorgenommen:

Bleiben wir bei der Zahl 6538. Nun wird mit der kleinsten Primzahl nach der 1 die Teilbarkeit geprüft. Die kleinste Primzahl nach der 1 ist die zwei. (übrigens die einzigste durch 2 teilbare Primzahl)
Der erste Schritt ist also 6538 durch 2 zu teilen. Das Ergebnis ist 3269
6538 = 2 x 3269
Der erste Primfaktor wäre also gefunden und unten in der Klammer gesammelt. Der Rest, also die 3269 wird weiterhin mit dem kleinst möglichen Primfaktor auf Teilbarkeit geprüft. Da die letzte Ziffer keine gerade Zahl ist, kommt die 2 also nicht als weiterer Primfaktor in Frage. Daher können wir gleich mit der nächst größeren Primzahl beginnen, also der 3. Das Ergebnis ergibt keine ganze Zahl, also ist die 3 auch kein Primfaktor. Dieser Schritt wird nun wiederholt, bis ein Ergebnis zustande kommt. Um das Ganze abzukürzen, sei nun das Ergebnis angezeigt:

6538 = (2 x 7 x 467)

Nehmen wir an, die zweite Zahl, deren Primfaktoren wir ermitteln wollen, sei die Zahl 8564.

Das Ergebnis der Primzahlenzerlegung ist :

8564 = (2 x 2 x 2141)

Wir sehen hier, daß die Zahl 2 doppelt vorkommt. Kommt ein Primfaktor im Ergebnis der Zerlegung mehrfach vor, so wird dieser auch exponentiell dargestellt. Man könnte das Ergebnis also auch mit
8564 = (2² x 2141) darstellen.

Somit ist der erste Schritt zur Ermittlung des ggT getan.
Um den ggT zu ermitteln, nimmt man die in beiden Zerlegungen vorkommenden Primfaktoren. Wichtig ist, daß, hierbei der jeweils kleinere Exponent genommen wird. In unserem Falle also die 2 und nicht die 2². Da wir keine weiteren gemeinsamen Primfaktoren finden können, ist der ggT von 6538 und 8564 die zwei.

Benutzung des Rechners


Das Online tool zur Ermittlung des ggT funktioniert auf denkbar simple Art und Weise. Der User muß lediglich die beiden Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler gefunden werden soll, in die dafür vorgesehenen beiden Felder eingeben. Die Reihenfolge spielt hierbei keine Rolle, also kann in das obere Feld auch die größere Zahl eingegeben werden. Durch Betätigen des Buttons "Berechnen" wird die Berechnung aktiviert. Die Lösung ist dann im Lösungsfeld gleich darunter zu finden. Bei Bedarf kann der User sich das Ergebnis auch ausdrucken.

Anwendungsgebiet


Der größte gemeinsame Teiler findet in der Bruchrechnung Anwendung. Um die Bruchrechnung zu vereinfachen, macht es Sinn, diesen möglichst weit herunter zu kürzen. Dies geschieht, indem Zähler und Nenner mit der jeweils gleichen Zahl geteilt werden. Dabei ist es sinnvoll, daß diese Zahl möglichst groß ist, um den Bruch entsprechend weit kürzen zu können. Hier ist also der ggT die geeignetste Zahl.




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