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Hypergeometrische Verteilung

Was ist die hypergeometrische Verteilung?

Die hypergeometrische Verteilung ist ein Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik). Sie ist relevant, um die Wahrscheinlichkeit eines Sechsers im Lotto zu berechnen. Zu einem besseren Verständnis stellen Sie sich eine Urne mit Kugeln vor. Manche davon besitzen eine Eigenschaft, die für Sie interessant ist. Normalerweise ist damit eine spezifische Färbung gemeint. Sie entnehmen eine bestimmte Anzahl von Kugeln und legen Sie nicht mehr zurück. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine Kugel mit der gesuchten Eigenschaft ziehen?

   

die Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit:

N=

die Anzahl der Elemente, die für uns günstig sind:

m=

die größe der Stichprobe (daher die Anzahl der Elemente, die wir "entnehmen" wollen):

n=

die Anzahl der Elemente aus m, die in n enthalten sind:

k=


Informationen über Stochastik

Der Begriff stammt aus dem Griechischen und bedeutet Ratekunst oder Kunst des Vermutens. Das Teilgebiet der Mathematik fasst als Oberbegriff die Bereiche Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik zusammen. Bei Ersterer geht es um die Beschreibung von Zufallsexperimenten. Beispiele sind das Werfen von Würfeln oder Münzen sowie vom Zufall beeinflusste räumliche Strukturen und zeitliche Entwicklungen. Daten dokumentieren die Ereignisse, die Sie anhand von Statistik analysieren.

Die zufälligen Einflüsse entstehen im Rahmen der zufälligen Auswahl einer Stichprobe aus der interessierenden Grundgesamtheit. Dies sind die Kugeln in der Urne oder Karten von einem Stapel. Die Stochastik beinhaltet ein Spektrum an Methoden für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Lottogewinns. Andere eignen sich für die Bestimmung von Unsicherheiten bei Meinungsumfragen. In der Finanzmathematik hilft sie bei der Preisfindung für Optionen.

 

Zufalls-Experimente und Wahrscheinlichkeiten

Die Prognose ist ein Maß für die Unsicherheit zukünftiger Ereignisse oder die persönliche Überzeugung. Die Wahrscheinlichkeit geben Sie mit den Buchstaben P oder W an. Der Mathematiker Laplace führte das P ein. Es stammt vom französischen Wort "probabilité". Er befasste sich in einem großen Teil seines Lebens mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Wahrscheinlichkeit trägt eine Zahl zwischen null und eins ohne Einheit. Die Angabe ist auch in Prozent, Quoten, Brüchen oder Verhältniszahlen zulässig.

Bei einer Durchführung von mehreren Zufallsexperimenten hintereinander berechnen Sie die relative Häufigkeit. Diese erhalten Sie, wenn Sie die absolute Häufigkeit (Anzahl geglückter Versuche) durch die Anzahl unternommener Versuche dividieren. Die Wahrscheinlichkeit Null tritt ein, wenn bei endlich vielen Versuchsausgängen der Eintritt des Ereignisses unmöglich ist. Liegen in der Urne Kugeln mit Zahlen zwischen Null und Eins, ist es nicht möglich, eine Kugel mit der Zahl Zwei zu ziehen. Ein Beispiel für die Wahrscheinlichkeit Eins ist ein sechsseitiger Würfel, der nie eine Sieben gibt.

Die grundsätzlichen Annahmen der Stochastik beschreiben die nach Andrej Kolmogorov. Sie besagen, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses mit allen möglichen Versuchsausgängen eins beträgt.
P(Ω) = 1
Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist null.
P(Ø) = 0
Dies bedeutet, alle Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen null und eins.
0≤P(A)≤1

 

Wahrscheinlichkeitstheorie: Untersuchung des Zufalls-Geschehens

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Formalisierung der Modellierung und Untersuchung von Zufallsgeschehen. Ihre zentralen Objekte sind Zufallsvariablen, stochastische Prozesse und zufällige Ereignisse. Sie ist auf axiomatischen Vorgaben aufgebaut und mengentheoretisch formuliert. Die Grundlage ist ein Zufallsvorgang oder Zufallsexperiment. Die Ergebnismenge Ω fasst alle möglichen Ereignisse davon zusammen. Ein Ereignis ist als Teilmenge der Ergebnismenge definiert. Ein Elementarereignis ist ein Ereignis mit genau einem Element der Ergebnismenge. Zusammengesetzte Ereignisse enthalten mehrere Ergebnisse. Zusammenfassend stellen Sie fest:

  • Ereignis: Teilmenge der Ergebnismenge
  • Ergebnis: Element der Ergebnismenge
  • Die Ereignisse sind in einem Mengensystem aufgeführt. Es ist der Ergebnisraum oder die Ergebnis-Algebra ∑ über Ω.

 

Anwendungsgebiete der Wahrscheinlichkeitstheorie

Aus dem Problem der gerechten Verteilung des Einsatzes beim abgebrochenen Glücksspiel stammt die Wahrscheinlichkeitstheorie. Alle früheren Anwendungen beziehen sich auf das genannte Gebiet. Heute ist sie eine Grundlage der mathematischen Statistik und ist in den Gymnasien im Mathematikunterricht ein Thema. Sie ist in vielen Gebieten der Physik ein wichtiges Mittel. In der Quantenmechanik oder der Thermodynamik findet sie Anwendung zur theoretischen Beschreibung von Resultaten. In Bereichen wie Warteschlangentheorie, Erneuerungstheorie und Zuverlässigkeitstheorie dient sie als Analysewerkzeug.

 

Laplace-Experiment

Sie führen auf den französischen Mathematiker Pierre-Simon Marquis de Laplace zurück. Er lebte von 1749 bis 1827. Während seines Theologiestudiums in Caen erkannten zwei Professoren seine mathematische Begabung. 1768 ging er nach Paris, um Mathematik zu studieren.

Bei einem Laplace-Experiment sind nur endlich viele Elementarereignisse möglich. Alle treten mit derselben Wahrscheinlichkeit auf. Dies ist beim Werfen einer Münze der Fall, wo Zahl und Kopf je die Wahrscheinlichkeit 0,5 hat. Eine endliche Ereignismenge Ω besitzt n Elemente. Die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses beträgt P = 1/n.

 

Die hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei N gegebenen Elementen mit M Elementen der gewünschten Eigenschaft, in n Versuchen k Treffer zu erzielen. Für die Berechnung brauchen Sie folgende Angaben:

N

N ist die Anzahl aller Elemente im Behälter. Meistens sind es Kugeln, es sind auch andere Arten von Elementen möglich.

m

m bezeichnet die Anzahl Elemente, welche die gesuchte Eigenschaft besitzen oder günstig sind. Als Beispiel dienen rote Kugeln in einer Menge von andersfarbigen Kugeln oder die richtigen Lottozahlen.

n

Die Zahl n beschreibt die Größe der Stichprobe. Sie besagt, wie viele Elemente Sie der Urne entnehmen. Beim Lotto sind es sechs.

k

k Elemente aus der Stichprobe n haben die gesuchte Größe. Beim Lotto: Sowohl n als k sind sechs.

P (X=k)

P bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, mit der das gewünschte Ereignis eintritt. Sie ist in Prozenten zu lesen. Wenn P = 0,045 bedeutet dies 4,5 %.

Beispiel 1: der Sechser im Lotto

Hier ist die Beschreibung des Sechsers im Lotto mit Vorsicht zu genießen, denn die Berechnung auf der Website ist nur bis auf fünf Stellen nach dem Komma möglich. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist viel kleiner, deshalb gibt die Formel auf der Seite 0 an. Trotzdem wähle ich dieses Ereignis, weil es vielen bekannt ist.

Eine Urne enthält 49 Kugeln. Sechs davon sind die "Richtigen" für den Sechser im Lotto. Sie nehmen sechs Kugeln heraus in der Hoffnung, dass jede eine der Lottozahlen enthält. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie genau die sechs richtigen Kugeln ziehen? Hier die Beschreibung der in der Formel einzusetzenden Zahlen:

  • N = 49 (so viele Kugeln sind in der Urne)
  • m = 6 (es befinden sich sechs richtige Kugeln in der Urne)
  • n = 6 (Sie ziehen sechs Kugeln heraus)
  • k = 6 (die sechs Zahlen haben für das gewünschte Ereignis richtig zu sein)

Die Formel lautet wie folgt:

6 49 – 6 6 43 1
P (X = 6) = 6 * 6 – 6 = 6 * 0 = 13.983.816
49 49
6 6

Das ergibt umgerechnet eine Wahrscheinlichkeit von 0,00000715 %. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für drei Richtige, setzen Sie für die Zahl k anstatt sechs drei ein. Dies ergibt ein Resultat von 1,765 %.

Beispiel 2: rote und weiße Kugeln

In der Urne befinden sich 10 Kugeln. Vier sind weiß und sechs rot. Sie entnehmen vier Objekte ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter ihnen zwei Rote befinden?

  • N = 10 (so viele Kugeln befinden sich in der Urne)
  • m = 6 (es sind sechs rote Objekte im Behälter)
  • n = 4 (sie nehmen vier Kugeln heraus)
  • k = 2 (zwei gezogene Kugeln sind rot)

6 10 – 6 6 4
P (X = 2) = 2 * 4 – 2 = 2 * 2 = 0,42857
10 10
4 2

Die Wahrscheinlichkeit, mit den vier Stichproben zwei rote Kugeln zu ziehen ist 42,857 Prozent.

 

Weitere Begriffe im Zusammenhang

Binominalverteilung

Im Vergleich zur hypergeometrischen Verteilung legen Sie bei der Binominalverteilung die Stichproben wieder ins Reservoir zurück. Ist die Anzahl der Stichproben im Vergleich zur Gesamtmenge der Elemente sehr klein, unterscheiden sich beide Werte unwesentlich voneinander. In diesem Fall kommt die mathematisch einfacher zu handhabende Binominalverteilung ins Spiel. Durch Approximation erhalten Sie die hypergeometrische Verteilung.

Pólya-Verteilung

Das vom ungarisch-amerikanischen Mathematiker George Pólya begründete Konzept ist ebenfalls mit einer Urne darstellbar. In ihr befinden sich a rote und b blaue Kugeln. Sie ziehen eine zufällige Kugel und legen sie wieder zurück. Zusätzlich fügen Sie bei jeder Stichprobe von außen c Kugeln derselben Farbe hinzu. Die hypergeometrische Verteilung ist ein Spezialfall der Pólya-Verteilung mit c = 1.

Diskrete Gleichverteilung

Die statistische Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Basis der hypergeometrischen Verteilung. Sie ist mit dem Urnenmodell darstellbar. Aus einem Behälter mit N Kugeln sind M eingefärbt. Sie ziehen n Kugeln daraus und hoffen, dass jede eine der Farbigen ist. Die hypergeometrische Verteilung bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass Sie k ≤ n gefärbte Kugeln ziehen.

 

Multivariate hypergeometrische Verteilung

Sie ist eine Verallgemeinerung der hypergeometrischen Verteilung. Sie geht der Frage nach, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, Kugeln einer Farbe zu ziehen, wenn die Objekte in der Urne aus mehr als zwei verschiedenen Farbtönen bestehen. Sie stimmt mit der hypergeometrischen Verteilung überein, wenn die Kugeln im Behälter nur zwei Farben haben. Die Definition ist folgendermaßen: Eine Urne mit N Kugeln ist gegeben, die aus k unterschiedlichen Farben bestehen.

Von der Farbe i sind Bi Objekte vorhanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim n-maligen Ziehen genau bi Kugeln der Farbe i zu ziehen? Diese Wahrscheinlichkeit ist multivariat hypergeometrisch verteilt.





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