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Inverse Matrix berechnen

Die inverse Matrix wird auch Kehrmatrix oder kurz Inverse genannt. Matrix ist ein Begriff aus der Mathematik, genauer aus der linearen Algebra. In der Einzahl wird die Matrix als Matrize bezeichnet. Sie sind quadratische Anordnungen bzw. Tabellen von mathematischen Elementen, das sind Variablen oder Zahlen, mit diesen kann im Ganzen gerechnet werden. Eine Matrix wird überwiegend zur Darstellung von linearen Abbildungen verwendet oder zu beschreiben von linearen Gleichungen.


Matrix

Die Inverse einer quadratischen Matrix ist in der Mathematik genauso eine quadratische Matrix, die dann mit der Ausgangsmatrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt.

Aber nicht jede quadratische Matrix hat auch eine Inverse, trotzdem können nur quadratische Matrizen eine Inverse besitzen. Die invertierbaren Matrizen nennt man reguläre Matrizen. Eine reguläre Matrix  ist eine Darstellungsmatrix einer bijektiven linearen Abbildung, die inverse Matrix stellt dann die Umkehrabbildung eben dieser Abbildung dar.

Die Menge der regulären Matrizen bildet eine feste Größe zusammen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine allgemeine lineare Gruppe, in der die inverse Matrix dann das inverse Element ist.

Was versteht man unter inverse Matrix
A ⋅ A−1 = E

Wird eine Matrix A mit ihrer Inversen A−1 multipliziert, so erhält man die Einheitsmatrix E.
Existiert für eine Matrix A die Inverse A-1, so heisst die Matrix regulär, ansonsten heisst die singulär.

 

Wie wird die Inverse Matrix mit dem Rechner berechnet

In die Matrix können Zahlen je nach Rang eingetragen werden. So wie in unserem Beispiel 9 Zahlen bei Rang 3 x 3, bei Rang 4 x 4 sind es dann 16 Zahlen usw. Außerdem kann eine Decimals-Zahl eingetragen werden.

 

Inverse Matrix berechnen 1

 

Das Ergebnis

Das Ergebnis zeigt nun die Berechnung der inversen Matrix als verschiedene Ergebnisse: Determinant, C*-Matrix, C*T-Matrix und Matrixversion.

Die Berechnungen der ersten beiden Ergebnisse können jeweils per Klick im Detail noch einmal angeschaut werden um den Rechneweg nachvollziehen zu können.

 

Inverse Matrix berechnen Ergebnis

 

Rechenregeln

1. Die Inverse einer Matrix entspricht dem Produkt der jeweiligen Inversen.

(A ⋅ B)−1 = B−1 ⋅ A−1
(hier muss die Reihenfolge der Multiplikation beachtet werden = Punktrechnung geht vor Strichrechnung)

2. Hier entspricht die Inverse der transponierten Matrix der Transponierten der inversen Matrix

(AT)−1 = (A−1)T

3. Die Inverse einer Matrix ist ebenfalls invertierbar, und die Inverse der Inversen ist dann wieder die Matrix selbst.
 
(A−1)−1 = A

4. Wird eine inverse Matrix mit einem Skalar k≠0 multipliziert, so gilt

(k⋅A)−1=k−1⋅A−1

 

Die Berechnung der Matrix

Die Berechnung einer inversen Matrix wird auch Inversion oder Invertierung der Matrix genannt. Sie kann nach verschiedenen Methoden berechnet werden.

Determinant und inverse Matrix

Wie schon oben erklärt, besitzt eine Matrix, deren Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, keine Inverse. Das ist dann der Fall, wenn die Determinante (det) der Matrix gleich Null ist. Demzufolge kann eine inverse Matrix nur dann berechnet werden, wenn folgendes gilt:

det(A)≠0

Cramersche Regel

Die Cramersche Regel basiert auf dem Verfahren der Berechnung von Determinanten.

Mit Hilfe der Adjunkten

Die Adjunkte ist die transponierte der Kofaktormatrix  und kann mit dieser Formel berechnet werden:
A−1=1|A|⋅Adj(A)
oder auch umgeschrieben zu:
A−1=1|A|⋅Cof(A)T

Rechenweg:

Die Determinante von A wird berechnet, ist diese gleich Null, gibt es keine Inverse und es kann nicht weiter gerechnet werden. Ist ie ungleich Null werden die Kofakroren berechnet und die Konfaktormatrix aufgestellt. Dann wird diese transponiert um die Adjunkte zu erhalten. Dieses Zwischenergebnis wird dann in die Formel zur Berechnung der inversen Matrix eingesetzt.


Einige Begriffe erklärt

Die transponierte Matrix AT bekommt man durch das Vertauschen der Zeilen und Spalten der Matrix A.

Formel für den Kofaktor:
Aij = (−1)i + j ⋅ Dij

Aij = Kofaktor, dieser setzt sich aus der Multiplikation eines Vorzeichenfaktors (−1)i+j mit einer Unterdeterminante Dij zusammen.

Dij = Unterdeterminante, diese erhält man, indem die i-te Zeile und die j-te Spalte gestrichen werden.

Der Vorzeichenfaktor (−1)i+j ordnet dann jeder Unterdeterminante ein Vorzeichen zu. Wobei i der Zeilenindex und j der Spaltenindex ist. Ist i+j gerade, dann ist auch das Vorzeichen positiv, ist i+j ungerade ist das Vorzeichen somit negativ.





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