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Kgv Rechner

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Jeder kennt das geflügelte Wort vom "kleinsten gemeinsamen Nenner", auf den man sich einigen muss oder geeinigt hat. Zum ersten Mal davon gehört haben wir in der Schule beim Bruchrechnen, und das hatte eine etwas andere Bedeutung.

Will man zwei Brüche addieren oder subtrahieren, muss man zuvor einen gemeinsamen Nenner suchen. Die Gleichung x = ½ + ¼ lässt sich nur lösen, wenn man den Bruch ½ so erweitert, dass im Nenner ebenfalls eine 4 steht. Das x hier ¾ ist, kann man noch sehr einfach nachvollziehen, da klar ist, dass ½ und 2/4 mathematisch das gleiche bedeuten. Wenn die Gleichung aber
x = 11/15 - 5/12
lautet, wird das schon etwas schwieriger. Es gilt hier, das kleinste gemeinsame Vielfache ( in diesem Fall von 12 und 15 ) als gemeinsamen Nenner zu finden, um die beiden Brüche zu erweitern und dann subtrahieren zu können.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu berechnen, geben Sie im Feld "Erste Zahl" die 15 ein, im Feld "Zweite Zahl" die 12 ( oder umgekehrt, das spielt keine Rolle ). Drücken Sie nun "Berechnen". Im Ausgabefeld erscheint die Meldung "60 ist das kleinste gemeinsame Vielfache".
Das bedeutet, das 60 die kleinste Zahl ist, die sowohl ein Vielfaches von 15 ( 4 mal 15 ) als auch ein Vielfaches von 12 ( 5 mal 12 ) ist.

Mathematisch funktioniert die Berechnung durch die sogenannte Primfaktor-Zerlegung. Dabei werden beide Zahlen, deren kgV ermittelt werden soll, in ihre Primfaktoren zerlegt.
15 = 3¹ * 5¹
12 = 2² * 3¹
Nun werden aus beiden Zeilen alle Primfaktoren genommen, die mindestens einmal vorkommen, und zwar mit ihren jeweils höchsten Exponenten.
Das Ergebnis ist 3 * 5 * 2² = 60

Aus dieser Berechnung folgt auch, dass das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Primzahlen immer das Produkt dieser beiden Zahlen sein muss, weil sich Primzahlen eben nicht zerlegen lassen.

Ebenfalls folgt aus den bisherigen Ausführungen, das die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen nur bei natürlichen Zahlen sinnvoll ist. Natürliche Zahlen sind 0 und alle positiven ganzen Zahlen. Wenn Sie eine negative Zahl eingeben und auf "Berechnen" drücken, erscheint eine Fehlermeldung.

Was aber tun, wenn Ihre zu lösende Gleichung x = 11/15 - 5/12 + 5/9 lautet, Sie also das kleinste gemeinsame Vielfache von mehr als zwei Zahlen ermitteln müssen ?

Mathematisch gesprochen ist das kgV assoziativ, d.h. Die Elemente sind vertauschbar. Bei drei gegebenen Zahlen a, b und c gilt
kgV(a,b,c) = kgV(a, kgV(b,c)) = kgV(kgV(a,b), c) = kgV(kgV(a,c), b)

Sie können also zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei beliebigen der drei Zahlen berechnen und mit dem Ergebnis dann das kgV davon und von der dritten Zahl.

In unserem Beispiel geben Sie also zunächst in das Feld "Erste Zahl" den Wert 12 ein, in das Feld "Zweite Zahl" den Wert 15 und betätigen dann denn "Berechnen"-Button. Das Ergebnis 60 tragen Sie danach in das Feld "Erste Zahl" ein, dann den Wert 9 in das Feld "Zweite Zahl" und drücken wieder "Berechnen". Nun erscheint als Ergebnis die Zeile "180 ist das kleinste gemeinsame Vielfache". Die Zerlegung ergibt in diesem Fall
15 = 3¹ * 5¹
12 = 2² * 3¹
9 = 3²
und das Ergebnis ist daher hier 5¹ * 2² * 3² = 180

Das gleiche Ergebnis erhalten Sie, wenn Sie die Reihenfolge der Eingabe ändern. Auf diese Weise können Sie das kleinste gemeinsame Vielfache für beliebig viele Zahlen ermitteln. Wenn Sie dabei eine Zahl ein zweites Mal eingeben, ändert sich nichts am Ergebnis, weil dieses ja bereits ein Vielfaches der wieder eingegebenen Zahl ist.




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