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Potenzrechner

Als ungeliebter Bestandteil des Mathematik-Unterrichtes ab der 5. Klasse dürften die Prinzipien der Potenzrechnung noch bei vielen in wager Erinnerung vorhanden sein. Dabei kann es sich durchaus lohnen diese Wissen noch einmal aufzufrischen und zu sehen, in welchen Situationen des Alltags oder der Berufswelt dieses Rechenverfahren gebraucht wird.

Unser Tool hilft Ihnen bei der Potenzrechnung.

Basis  
Exponent  

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In der Mathematik wird es für den Laien immer etwas kompliziert, wenn es über die einfachen Rechenoperationen wie Multiplikation, Addition, Subtraktion und Division hinausgeht. So ist auch die Potenzrechnung zwar noch keine höhere Mathematik, bedarf aber vielleicht einer Erklärung, da man diese im Alltag doch hin und wieder vorfindet und auch in diversen Berufszweigen anwenden kann. Um es einmal kurz zu sagen: mittels der Potenzrechnung kann innerhalb der Mathematik eine große Zahl oder eine längere Rechenoperation einfacher und verkürzt dargestellt werden.

Die Potenzrechnung ermittelt sich immer aus einer Basis und einem Exponenten, wobei die Basiszahl als a benannt wird und der Exponent als n. Dieser Exponent n ist immer eine natürliche, ganze Zahl, also keine Brüche oder Kommazahlen. Dieser Exponent gibt an, wie oft der Basiswert a mit sich selbst multipliziert werden soll. Somit ist die kleinste Potenz die der Quadratzahlen, denn hierbei wird der Basiswert a nur einmal mit sich selbst multipliziert. Dabei ist der Exponent n - oder anders formuliert die so genannte Hochzahl - immer 2. Das würde gesprochen als a hoch 2 ausgedrückt. Ergo ist die Rechenoperation dazu a mal a. Um im umgekehrten Falle also wieder die Potenzrechnung rückgängig zu machen, müsste man nur die Wurzel des Wertes der Potenzrechnung ziehen.

Ist der Exponent n höher als 2, spricht man von Potenzen. Um dies wiederum zurückzurechnen, müssen die Wurzeln mit einem Wurzelexponenten versehen werden, der dem Wert des Exponenten n aus der Potenzrechnung entspricht. Will man also den Basiswert a 7 mal mit sich selbst multiplizieren, würde dies gesprochen als a hoch 7 ausgedrückt. Dabei rechnet man einfach a mal a mal a mal a mal a mal a mal a mal a. Der Wurzelexponent, um von dem Ergebnis dieser Potenzrechnung wieder zurück zum Basiswert a zu rechnen, entspricht folglich ebenfalls 7, das heißt, wird 7 mal durch den selben Wert n dividiert.

Es gibt verschiedenste Potenzgesetze, die hier aufzuzählen und zu erläutern unmöglich ist und für den Alltag auch kaum notwendig sein dürfte, denn wenn Potenzrechnungen im Alltag überhaupt vorkommen, dann fast immer als reelle Zahlen. Das heißt, dass die Basiszahl a einer Zahl entspricht und nicht gleich 0 ist, da die Zahl Null nur in der Theorie existiert, da sie per se keinen Wert hat. Besonders wichtig wird die Potenzrechnung jedoch bei der Darstellung von hohen Werten, gerade in dem in dem bei uns vorherrschenden Dezimalsystem. Hier wird mit Zehnerpotenzen gerechnet. Und wenn diese entsprechend hoch sind, lassen sich solche astronomischen Zahlen übersichtlicher und einfacher als Potenz darstellen, als dass man ellenlange Reihen von Nullen hintereinander schreibt. Dies wird zum Beispiel in der Welt der Physik oder Chemie notwendig, wo man oft mit sehr kleinen oder sehr großen Mengen zu tun hat. Die Anzahl von Atomen in einer bestimmten Menge Gas kann dann als 10 hoch 11 angegeben werden, was 100 Milliarden - oder ausgeschrieben 100 000 000 000 - entspricht. Oder es kann eben das Gewicht eines einzelnen Atoms anstatt als 0,0000000001 Gramm als 10 hoch -9 beschrieben werden.

Mit dem hilfreichen Tool einfach die Potenz errechnen

Die Maske bei den hilfreichen Tools dieser Webseite erledigt eben genau dies - die Potenzrechnung beliebiger natürlicher Basiswerte a in beliebig hoher Multiplikation mit sich selbst. Man braucht dazu nur den Basiswert a in die obere Zeile einzutragen und in die untere den Exponenten n. Das hilfreiche Tool übernimmt die mühsame Rechenarbeit.

Ein konkretes Beispiel

Als konkretes Beispiel sei auf die Weitenkornlegende des Erfinders des Schachspiels hingewiesen. Um zu verdeutlichen, wie viele Möglichkeiten ein Schachspiel mit seinen nur 64 Feldern aufweist, ließ dieser sein Gegenüber 2 Weizenkörner auf das erste Feld legen und wollte, dass dieser bei jedem Feld die Anzahl der Körner verdoppelt - ergo mit 2 potenzieren ließ. Konkret hieße das, man muss dabei den Basiswert 2 mit dem Exponenten 64 - für die 64 Felder des Schachspiels - rechnen. Die Rechnung wäre dann 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 und so weiter - 64 mal eben. Heraus kommt das erstaunliche Ergebnis von 1.844674407371 hoch 10 +19 Weizenkörnern auf dem letzten Feld des Schachspiels.



Häufig gestellte Fragen

Beispiel einer Potenzrechnung

Hier also eine Beispielaufgabe: 3³+2²= 3*3*3 + 2*2 = 27+4 = 31.
Natürlich gibt es noch viel komplexere Beispiele für die Potenzrechnung. Das grundlegende Prinzip funktioniert allerdings wie bereits weiter oben schon beschrieben.

 

Was ist die Potenzrechnung?

Vergleichen kann man die Potenzrechnung am ehesten mit dem Prinzip der Multiplikation als mathematisches Synonym für die Addition zweier gleicher Summanden. Die Potenz ist also eine Kurzschreibweise für die Multiplikation zweier gleicher Faktoren.
Dabei besteht die Potenz aus den Elementen Basis und Exponent. Als verbaler Ausdruck meint dies: Basis a hoch Exponent x. Das Beispiel 3² würde dann so gesprochen werden: „drei hoch 2“ oder „3 zum Quadrat“.

Die Basis kann dabei mit natürlichen, positiven ganzen Zahlen potenziert werden. Zu dieser gehört auch der Ausnahmefall der Zahl 0. Die Basis, also die Zahl, wird im Allgemeinen mit dem Buchstaben a und der Exponent als n beschrieben. Dieser Exponent wird deshalb mit n beschrieben, da er in jedem Falle eine natürliche Zahl ist.

An dieser Stelle soll zunächst der Ausnahmefall der Potenzrechnung beschrieben werden: Eine Basis hoch Null ergibt immer 1. Rechenbeispiele hierfür sind: a°=1, 1° = 1, 2°=1, 3°=1 etc.
Nimmt man eine beliebige Basis a hoch 1 ergibt dies immer die Basis selbst: a^1=a. Also ist 1 hoch 1=1, 2 hoch 1=2, 3 hoch 1=3 etc.

Der Fall a hoch n beschreibt das Ergebnis der Potenz als a= a*a*a*a*a..., wobei n die Anzahl der Faktoren a bestimmt. Lautet die Aufgabe als beispielsweise a hoch 6 erhält man als Ergebnis a hoch 6= a*a*a*a*a*a. Im konkreten Beispiel könnte folgende Rechnung denkbar sein: 2³= 2*2*2=8. Ein anderes Beispiel: 5³= 5*5*5=125.

 

Wozu benötige ich die Potenzrechnung?

Die Potenzrechnung kommt in vielerlei Berufszweigen zum Einsatz. Vor allem in der Programmierung werden Potenzen genutzt um umfangreiche Suchfunktionen oder Prozessoptimierung zu ermöglichen. Auch große Zahlen, wie sie in der Astronomie benötigt werden, können ganz leicht als Potenzen geschrieben werden. Damit spart man sich, zum Beispiel bei der Beschreibung von Abständen zweier Planeten, das Aufschreiben einer Zahl mit unendlich vielen Nullen. Der Nutzen der Potenzrechnung liegt also vor allem darin, dass mit ihrer Hilfe große Zahlen kurz und knapp dargestellt werden können. Das bekannteste Beispiel der mathematisch wichtigen Potenzen ist die Eulersche Zahl e. Diese wird mit einem annähernden Wert von e = 2,71828... bis auf 16 Stellen nach dem Komma in gerundeter Form beschrieben und ist damit die Grundlage für alle Kreisberechnungen. Ein weiteres Beispiel bildet das Speichersystem unserer gängigen Computersysteme. Dort werden Daten digital verarbeitet und als Zweierpotenzen im sogenannten Dualsystem beschrieben. Die Liste des Vorkommens verschiedenster Potenzen im Alltag und in der Natur ließe sich beliebig fortsetzen.

 



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