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Satz des Pythagoras

Satz des PythagorasDer Satz des Pythagoras. Geben Sie einfach nur der Kathete a und b ein sowie die Länge der Hypnothenuse c und wir berechnen Ihnen im Handumdrehen die Länge der Hypotenuse, Länge des Hypotenusenabschnitt a und b sowie die Höhe des Dreiecks

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypotenuse c ist die Summe der Kathetenquadrate a² und b² gleich dem Hypotenusenquadrat c².

 

Länge der Kathete a  
Länge der Kathete b  
Länge der Hypotenuse c  

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Eine der berühmtesten Formeln aus der Mathematik ist der so genannte Satz des Pythagoras. Dieser ist eigentlich so simpel, wie er alt ist und kann durchaus für vielerlei Berechnungen im Alltag verwendet werden. Egal, ob man damit Flächen oder Seitenlängen berechnen will - mit dieser Formel kann auch eine an sich komplizierte Berechnung relativ schnell und einfach erledigt werden.

Der Satz des Pythagoras gilt in allen rechtwinkligen und ebenen Dreiecken und besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate a und b den Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats ergibt. Mathematisch ausgedrückt heißt das, dass die Länge der Kathete a zum Quadrat addiert mit der Länge der Kathete b zum Quadrat die Länge der Hypotenuse c zum Quadrat ergibt. Dabei sind die Katheten a und b die beiden Seiten, die vom rechten Winkel in dem Dreieck abgehen. Die Hypotenuse wiederum ist immer die Seite, die gegenüber dem rechten Winkel liegt. Diese Formel kann natürlich auch für die Seiten einer Pyramide angewendet werden, sofern diese aus vier Seitenflächen mit jeweils einem rechten Winkel bestehen.

Zusammen mit dem Kathetensatz und dem Höhensatz bildet der Satz des Pythagoras die so genannte Satzgruppe des Pythagoras. Alle drei zusammen reichen aus, um jede beliebige unbekannte Länge oder Quadratfläche über der jeweiligen Seitenlänge eines Dreiecks zu berechnen, sofern dieses in einem Winkel rechtwinklig ist. Und da es sich um eine Addition der Kathetenquadrate a und b handelt, folgt logischerweise daraus, dass die Hypotenusen immer länger sind als die Katheten jede für sich genommen. Außerdem besagt der Satz des Pythagoras im umgekehrten Falle, dass das Dreieck rechtwinklig sein muss, wenn das Quadrat der Hypotenuse c der Summe des Kathetenquadrats a und des Kathetenquadrats b entspricht.

Will man nun zum Beispiel wissen, wie lang die diagonale Strecke in einer quadratischen Gartenparzelle ist, muss man nur eine Seitenlänge des Geländes kennen, denn da es sich um ein Quadrat handelt, sind alle Seiten gleich lang. Also berechnet man nur das Quadrat einer Seitenlänge und addiert diesen Wert mit sich selbst. Dies ist dann der Wert der Hypotenuse - in diesem Beispiel also die diagonale Wegstrecke in der Gartenparzelle - zum Quadrat. Aus diesem Ergebnis muss folglich nur noch die Wurzel gezogen werden - und schon hat kennt man die genaue Wegstrecke der Diagonale der Gartenparzelle.

Ein konkretes Beispiel


Um bei diesem Beispiel zu bleiben, aber konkret zu werden, nehmen wir an, dass diese Gartenparzelle eine Seitenlänge von 25 Metern hat. Um nun die diagonale Wegstrecke in Metern zu errechnen - beispielsweise um einen Weg quer durch den Garten mit Bodenplatten zu verlegen - nimmt man 25 mal 25, was 625 entspricht. Diese 625 addiert man mit 625 und erhält 1250. Die Wurzel aus 1250 ist 35.35 (aufgerundet). Also werden für den Weg quer durch den Garten Bodenplatten von insgesamt 35.35 Metern benötigt.

Wenn man nun also in die Rechenmaske des hilfreichen Tool auf dieser Webseite nun als Kathetenlänge a gleich 25 und Kathetenlänge b gleich 25 eingibt, errechnet das Tool im Bruchteil einer Sekunde die Diagonale durch diese Gartenparzelle - denn diese entspricht ja der Hypotenuse des Dreiecks, da sie gegenüber dem rechten Winkel des Quadrats des Gartens liegt. Außerdem berechnet das Tool weiterhin, wie lang der Hypotenusenabschnit a und b sind. Diese Abschnitte ergeben sich wiederum daraus, wenn man vom rechten Winkel aus eine Linie auf die Hypotenuse zieht, die wiederum mit der Hypotenuse einen rechten Winkel ergibt. Und angezeigt wird weiterhin die Höhe des Dreiecks, welche in diesem konkreten Fall die Hälfte des Wertes der Hypotenuse entspricht, da es sich um einen quadratischen Garten handelt. Mit etwas Übung und mit Hilfe des Tools auf dieser Webseite kann man so fast alles in und um eine Fläche herum berechnen - man braucht nur einen rechten Winkel und zwei Seitenlängen.


Häufig gestellte Fragen

Beispielrechnung mit dem Satz des Pythagoras (Aufgabe inkl. Lösung)

Angenommen, ein Kleingärtner hätte gerade einen quadratischen Garten mit einer Fläche von 500 Quadratmetern gepachtet. In einem Baumarkt hat er die Gelegenheit, im Sonderangebot einen Wasserschlauch von einer Rolle zu kaufen. Leider weiß er die erforderliche Länge nicht. Kann er die optimale Länge des Wasserschlauches im Baumarkt bestimmen? Er erinnert sich, dass sich die Zapfstelle direkt am Zaun in einem Meter Abstand von der Zaunecke befindet. Welche Länge muss der Schlauch haben, um jede Stelle des Gartens erreichen zu können (vertikale Abschnitte sollen nicht berücksichtigt werden).

Lösung: Es ist klar, dass die Entfernung von der Zapfstelle zur gegenüberliegenden Zaunecke die erforderliche Schlauchlänge bestimmt. Die Schlauchlänge ist die Länge der Hypotenuse. Um die Länge der Katheten zu bestimmen, muss zunächst die Seitenlänge des quadratischen Gartens errechnet werden. Dazu muss die Wurzel aus 500 gezogen werden. Die Berechnung ergibt eine Seitenlänge des quadratischen Gartens von 22,36 Metern. Jetzt sind die Längen der beiden Katheten zu bestimmen. Eine Kathete hat die Länge von 22,36 Metern und die andere Kathete hat eine Länge von 21,36 Metern, da sich die Zapfstelle in einem Meter Entfernung von der Zaunecke befindet. Die Länge der Hypotenuse lässt sich als Wurzel aus der Summe der Quadrate der Kathetenlängen berechnen: Wurzel(22,36x22,36+21,36x21,36)= 30,92. Der Kleingärtner errechnet, dass der Wasserschlauch eine Länge von 30,92 Metern haben muss, um alle Ecken des Gartens zu erreichen und kann den Wasserschlauch preisgünstig und passgenau kaufen.

 

Was sagt der Satz des Pythagoras aus?

Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines ebenen Dreiecks mit rechtem Winkel her. Er sagt aus, dass in einem ebenen rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Kathetenquadrate ist. Als Katheten werden die Schenkel des rechten Winkels bezeichnet und die Hypotenuse ist die Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Zeichnerisch lässt sich dieser Sachverhalt veranschaulichen, indem über jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat mit der entsprechenden Seitenlänge konstruiert wird. Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe aus den Flächeninhalten der Quadrate über den Katheten identisch mit dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse. Aus dem Satz des Pythagoras folgt weiterhin, dass allein die Kenntnis der Längen der drei Seiten eines Dreiecks ausreichend ist, um festzustellen, ob das Dreieck einen rechten Winkel enthält und welche zwei Dreieckseiten ihn bilden. Er sagt ebenfalls aus, dass die Länge der Hypotenuse größer sein muss als die Länge jeder einzelnen Kathete und kürzer als die Summe aus den Längen beider Katheten.

 

Wozu dient mir der Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras kann dazu dienen, unbekannte mathematische Größen eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen. Sind der rechte Winkel und die Länge zweier Seiten bekannt, kann die Länge der dritten Seite errechnet werden. Sind in einem Dreieck die Längen aller drei Seiten bekannt, kann festgestellt werden, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich ein rechter Winkel darstellen, was beispielsweise in der praktischen Tätigkeit von Landschaftsgärtnern ausgenutzt wird. Eine Schnur wird mittels Knoten in drei Teillängen im Verhältnis 3:4:5 eingeteilt und zu einem Dreieck verbunden. Es entsteht ein rechter Winkel, der sich gegenüber der Seite mit der Länge 5 befindet.

Es ist schwierig, den Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen im Gelände zu berechnen. Um die komplizierte Fläche zu bestimmen, wird in einzelne Flächen aufgeteilt und später aufsummiert. Mit etwas Übung kann die Fläche in Rechtecke und durch Anwenden des Satzes des Pythagoras in rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden. Der Flächeninhalt der einzelnen rechtwinkligen Dreiecke entspricht der Hälfte des Produktes aus beiden Kathetenlängen.

 



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