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Winkelfunktion - alpha berechnen

Berechnen Sie hier die Winkelfunktion (alpha). Geben Sie dazu die Länge der Ankathete, die Länge der Gegenkathete sowie die Länge der Hypothenuse ein.

Zwei Angaben müssen getätigt werden

Länge Ankathete  
Länge Gegenkathete  
Länge Hypotenuse  



Häufig gestellte Fragen

Praxisbeispiel zur Berechnung der Winkelfunktion (alpha)

Von einem Dreieck sind folgende Daten bekannt:

 

Seite a = 10 cm (Ankathete)

Anliegender Winkel  = 30° (alpha)

Anliegender Winkel  = 90° (gamma)

 

Zu berechnen sind alle anderen Seitenlängen und der verbleibende Winkel b.

 

Was versteht man unter der Winkelfunktion (alpha)?

Winkelfunkionen ganz allgemein sind in der Geometrie weit verbreitet. Sie werden genutzt, um die Zusammenhänge zwischen verschiedenen Achsen oder Kanten geometrischer Gebilde mathematisch zu beschreiben. Meist wird die Winkelfunkion a fälschlicherweise in Verbindung mit mit dem „Satz des Pythagoras“ genannt. Doch dieser beschreibt an sich nur die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks – mit der Winkelfunkion a dagegen lassen sich aber auch rechtwinklige Dreiecke berechnen, wenn nur eine Seite und ein angrenzender Winkel bekannt ist!

Zum weiteren Verständnis der Winkelfunkion a wird vorausgesetzt, dass die zugehörigen Grundfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens mit einem Taschenrechner berechnet werden können.

 

Was versteht man unter Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse?

Stellt man sich ein rechtwinkliges Dreieck vor, so ist die Seite, die dem rechten Winkel (also dem Winkel mit 90°) gegenüber liegt, immer die Hypotenuse. Sie ist automatisch auch die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

Benennt man nun einen der anderen beiden Winkel mit dem griechischen Buchstaben a, so wird die direkt an diesem Winkel anliegende Seite als Ankathete bezeichnet (bitte nicht mit der Hypotenuse verwechseln!), die dem Winkel gegenüber liegende Seite heißt entsprechend Gegenkathete.

 

Wie berechnet man die Winkelfunktion (alpha)?

Unter Zuhilfenahme des als bekannt angenommenen Winkels a und einer beliebigen anderen Kantenlänge des Dreiecks lassen sich schrittweise alle anderen Seitenlängen bestimmen:

sin (a) = Gegenkathete / Hypotenuse

cos (a) = Ankathete / Hypotenuse

tan (a) = Gegenkathete / Ankathete

(Die Namen der drei Seiten stehen stellvertretend für die Längen der Seiten.)

Wichtig ist, dass die Angabe des Winkels a in allen gezeigten Formeln immer im Bogenmaß (rad) und nie im Gradmaß (°) erfolgt:

aBogenmaß = aGradmaß * 2* p / 360° (in radiant)

 

Wozu benötigt man in der Praxis die Berechnung der Winkelfunktion?

Die Berechnung mit Hilfe von Winkelfunkionen wird in der Technik wie auch in der Architektur sehr häufig verwendet. Viele kompliziert aussehende geometrische Formen lassen sich meist in mehreren Stufen auf rechtwinklige Dreiecke zurückführen.

Praxisbeispiel zur Berechnung der Winkelfunktion (alpha a)

Von einem Dreieck sind folgende Daten bekannt:

Seite a = 10 cm (Ankathete)

Anliegender Winkel a = 30° (alpha)

Anliegender Winkel c = 90° (gamma)

Zu berechnen sind alle anderen Seitenlängen und der verbleibende Winkel b.

 

Berechnung des Winkels b

Da die Summe aller Winkel in einem Dreieck immer 90° beträgt, ergibt sich:

b = 180° - ac

 

Für die weitere Berechnung wird a zunächst ins Bogenmaß umgerechnet:

aBogenmaß = aGradmaß * 2* p / 360° (in radiant)

= 30° * 2* p / 360°

= 0,523 rad

 

Berechnung der Hypotenuse

Durch Umstellung der oben gezeigten Formel erhält man:

Hypotenuse = Ankathete / cos (a)

= 10 cm / cos (0,523)

= 11,54 cm

 

Berechnung der Gegenkathete

Durch Umstellung der oben gezeigten Formel erhält man:

Gegenkathete = tan (a) * Ankathete

= tan (0,523) * 10 cm

= 5,75 cm

 



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