PQ-Formel-Rechner
Beabsichtigen Sie, schnell und einfach die Variablen X mithilfe der quadratischen Gleichung auszurechnen, probieren Sie beispielsweise diesen PQ Formel Rechner. Im Internet zu findende Rechner liefern nicht alle dieselben Kommazahlen. Mit diesem Rechner erhalten Sie bis zu 14 Kommastellen, was das Endergebnis aussagend beschreibt.
Die Berechnung mit dem PQ Formel Rechner erspart Ihnen Zeit und Aufwand. Sie liefert ein exaktes und fehlerfreies Ergebnis in Sekunden. Die Berechnung erfolgt automatisch mit der kleinen quadratischen Lösung nach der Eingabe der Variablen p und q. Wie Sie den Rechner benutzen und wie er das Ergebnis erreicht, sowie einige nützliche Zusatz-Informationen rund ums Thema erfahren Sie in den folgenden Absätzen.
PQ-Formel-Rechner
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Nutzen des PQ Formel Rechner
Wann es sich als sinnvoll erweist, diesen Rechner zu benutzen, liegt klar auf der Hand. Zum einen sitzen Sie an einer Mathe-Arbeit oder Übung und stehen abseits vom aktuellen Thema in Konfrontation mit der quadratischen Gleichung. Der PQ Formel Rechner bietet sich hierbei perfekt an, um schnell und ohne Aufwand auf das richtige Ergebnis zu kommen. Die Nutzung dieser Berechnung ist für Sie kostenfrei und ohne Bindung nach Belieben und Bedarf anwendbar.
Funktionsweise des PQ Formel Rechner
Um die Berechnung der fehlenden Variable X korrekt durchzuführen, ist es nötig, die beiden anderen Variablen p und q einzugeben. Diesen Formel-Rechner zu bedienen erweist sich erst als sinnvoll, wenn Sie beide Variablen p und q kennen. Bei durchschnittlichen Aufgaben, die ein Schüler zu bewältigen hat, sind sie leicht zu erkennen. Nach der Eingabe von p und q klicken Sie auf den Button „Berechnen“.
Innerhalb weniger Augenblicke erscheint im darüber liegenden Kästchen das Ergebnis. Die Lösung einer quadratischen Gleichung besteht immer aus zwei Möglichkeiten. Aus diesem Grund liefert der PQ Formel Rechner jeweils eine Lösung für x1 und x2. Es liegt im Auge des Berechners, welche der beiden Ergebnisse das Richtige darstellt. Dies ergibt sich meist aus dem Definitionsbereich der Gleichung.
Veranschaulichung an einer Beispiel-Berechnung
Um den Vorgang besser zu verstehen und detaillierte Informationen darüber zu erlangen, welche Zahlen Sie für p und q eingeben, befindet sich nachfolgend ein kleines Beispiel. Die Ausgangs-Gleichung lautet: . Die Variable liegt im Buchstaben x und es gilt, sie mithilfe der quadratischen Gleichung auszurechnen. In allgemeiner Schreibweise ergibt sich daraus die Formel . Daraus ist leicht zu erkennen, dass beim Beispiel „5“ für p und „-12“ für q steht. Diese Zahlen tippen Sie in den dafür vorgesehenen Platz für p: „5“ und für q: „-12“ ein.
Die Lösungen erscheinen direkt über dem Berechnen-Button und lauten in diesem Beispiel für x1=1,772… und für x2=-6,772… Das Ergebnis besteht aus zwei Lösungen mit jeweils 14 Kommastellen. Wer den Aufwand scheut, die gesamten Zahlen von Hand abzuschreiben bedient sich der Drucken-Taste des PQ-Formel-Rechners. Mit einem Klick öffnet sich ein Fenster, welches das herkömmliche Druckmenü aufzeigt.
Allgemeine Informationen über die quadratische Gleichung
Aufzeichnungen vor rund 4.000 Jahren im altbabylonischen Reich, bezeugen von ersten Anwendungen von quadratischen Gleichungen. Im Allgemeinen ist eine Gleichung in der Form in der abstrakten Algebra als quadratische Gleichung definiert. Dabei stellt x die eigentliche Variable dar und p und q dienen lediglich als Platzhalter, um die Gleichung allgemein zu halten. Bei der Berechnung von Körpern und in Integritäts-Bereichen ergeben sich maximal zwei Lösungen.
In der Normalform beschreiben Mathematiker die allgemeine quadratische Gleichung mit , wobei a keine Null beschreibt. beschreibt das quadratische Glied und das lineare Glied. steht für die Konstante, die zusätzlich das Absolutglied der Gleichung beschreibt.
Fehlen von p und q: Satz von Vieta
Besteht die Aufgabe, eine quadratische Gleichung zu lösen, bei der anstatt p und q, x1 und x2 bekannt sind, stellt sich die Frage nach den fehlenden Gleichungs-Elementen. Der Satz von Vieta dient zur Ermittlung von p und q, für die die Formeln und gelten. Durch diese Möglichkeit, besonders, wenn p und q Elemente von ganzen Zahlen beschreiben, ist eine rasche Lösung zu finden leicht. Als Beispiel besteht die Gleichung erhalten Sie die Lösung und . Mit etwas Übung erscheint die Lösung leicht: für q und für p.
Herleitung der p-q-Formel
Der PQ Formel Rechner bedient sich der kleinen Lösungsformel: , doch woher stammt die allgemein bekannte Formel? Sie ergibt sich aus der ursprünglichen Form der quadratischen Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung. Beim Term verschieben sich alle Ausdrücke nach und nach auf die andere Seite bis schlussendlich x alleine steht. Demnach ergibt sich und durch die quadratische Ergänzung von folgt . Mit der binomischen Formel entsteht daraus . Nach der Anwendung einfachster mathematischer Methoden zur Lösung von Gleichungen entsteht die weitverbreitete quadratische Lösung:
Große quadratische Lösungsformel oder Mitternachtsformel
Je nach Vorliebe und Geschmack existiert über die PQ-Formel eine Abc-Formel zur Berechnung von quadratischen Gleichungen. Die allgemeine Gleichung stellt hierbei dar. Der Zusammenhang oder Überleitung zur kleinen oder kürzeren Lösungsformel liegt in den Variablen p und q. Wobei und gilt.
Wünscht der Schüler oder der Anwender die Gleichung mit der Abc-Formel zu lösen, besteht die Lösungsformel: . In der Anwendung unterscheidet sie sich kaum von der kleineren Formel. Diese Formel benötigen Mathematiker, wenn ein besteht, das sich nicht in einfacher Weise durch Umformen eliminiert. Ein Beispiel dafür ist: . Bei solch komplexeren Beispielen stellt die große Lösungsformel die einfache Variante gegenüber der PQ-Formel dar.
Herleitung der Abc-Formel
Der Ursprung der großen Lösungsformel oder Mitternachtsformel liegt in der allgemeinen Norm-Form einer quadratischen Gleichung . Subtrahieren Sie das c und erweitern den Term mit sodass Sie . Durch die quadratische Erweiterung mit und das Umformen mit der binomischen Formel erhalten Sie . Versuchen Sie jetzt, die Gleichung derart umzuformen, dass Sie das x lösen, steht zum Schluss die allgemeine Formel fest.
Umformung von der PQ-Form auf Abc-Form
Besteht zusätzlich die Aufgabe, aus der allgemeinen Form auf die PQ-Form umzuformen, bewältigen Sie diese mit folgenden Tipps. Zum einen erhalten Sie p durch und q mit . Ein weiterer Zusammenhang existiert in der Zerlegung der Linearfaktoren. Dabei erweitert Sie den Term um den Ausdruck und die Gleichung um . Diese Art der Umformung ist besonders nützlich, wenn Sie eine quadratische Gleichung lieber mit der kleinen Lösung zum Ergebnis bringen.