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Spannweite

Die Spannweite: Ein Maß der deskriptiven Statistik

Die deskriptive Statistik ist ein Teilgebiet der Stochastik. Sie beschäftigt sich mit Häufigkeits- und Wahrscheinlichkeitsverteilungen und betrachtet die Verteilung der Messwerte um einen bestimmten Parameter. Diese Verteilung wird auch als Streuung bezeichnet. Um ein Maß für die Streuung anzugeben, können in der deskriptiven Statistik verschiedene Verfahren genutzt werden, die dabei ermittelten Größen werden auch Streuungsmaße genannt.
Eine Möglichkeit ist die Berechnung der Spannweite, die nach ihrem englischen Fachbegriff auch als Range bezeichnet und häufig mit dem Buchstaben R abgekürzt wird. Laut Definition werden zur Ermittlung der Spannweite lediglich der maximale und der minimale Wert der Verteilung benötigt. Die Spannweite ergibt sich dann aus der Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten vorhandenen Messwert. Die Spannweite R ist ein Maß, das häufig im Schulunterricht der Mathematik verwendet wird, es findet jedoch auch im Alltag von Wissenschaftlern in der Datenanalyse und in vielen Statistiken Anwendung.

Vor- und Nachteile der Ermittlung der Spannweite

Wird die Spannweite einer Häufigkeitsverteilung berechnet, gibt sie Auskunft über die Breite, die die Streuung der Messwerte insgesamt einnimmt, sie beschreibt die Größe des gesamten Bereichs der Messung. Daher ist sie ein sehr nützliches mathematisches Werkzeug. Ein Nachteil der Spannweite ist jedoch ihre Unempfindlichkeit gegenüber sogenannten Ausreißern. Mit dem Begriff Ausreißer wird ein Messwert bezeichnet, der sich stark von den anderen Werten unterscheidet, er kann sowohl deutlich kleiner als auch deutlich größer als ein Großteil der Messwerte sein. Sind in einer Verteilung mehrere Ausreißer vorhanden, können sie das Ergebnis der Analyse verfälschen, daher sollten sie nach Möglichkeit aus den Berechnungen ausgeklammert werden. Bei der Ermittlung der Spannweite ist dies jedoch nicht der Fall, Ausreißer können das Resultat der Berechnung stark von anderen Analyseergebnissen abweichen lassen. Ist jedoch eine Verteilung vorhanden, die keine auffälligen Ausreißer aufweist, gilt die Spannweite als hilfreiche Größe in der Datenanalyse.

Ein Maß für die Abweichung vom Mittelwert

Der Spannweite kommt eine besonders große Bedeutung zu, weil sie die Streuung um das arithmetische Mittel herum veranschaulicht. Das Maß, das häufig als Mittelwert bezeichnet wird, dient ebenfalls der Analyse einer Verteilung, es gibt den Wert an, der statistisch am häufigsten oder am wahrscheinlichsten auftritt. Er befindet sich meist in der Mitte aller Messwerte, sein Abstand zum kleinsten Wert ist etwa gleich groß wie der Abstand zum größten Wert. Die Spannweite ist somit ein gern genutztes Streuungsmaß, das Rückschlüsse auf die Entfernung der extremsten Werte zum Mittelwert zulässt.

Kein Zusammenhang zum Median

Alternativ zum arithmetischen Mittel wird bei manchen Verteilungen auch der Median bestimmt. Er entspricht dem Zahlenwert, der in der Mitte aller Werte steht, wenn diese nach ihrer Größe aufsteigend sortiert werden. Ausreißer beeinflussen den Median folglich nur leicht. Die Spannweite steht daher in keinem Zusammenhang zum Median, die Berechnung der Spannweite lässt keinerlei Rückschlüsse auf den Wert des Medians zu.

Der Unterschied zur Standardabweichung

Häufiger als die Spannweite wird die mittlere Abweichung zur Verdeutlichung der Streuung verwendet, sie wird auch als Standardabweichung bezeichnet. Sie ergibt sich als Quadratwurzel der Varianz, die sich wiederum aus dem Erwartungswert errechnet. Weil bei der Ermittlung des Erwartungswertes die Anzahl aller Messwerte gegen Unendlich läuft, spielen Ausreißer um den Mittelwert keine Rolle mehr für das Ergebnis. Liegt eine Verteilung vor, die mehrere Ausreißer aufweist, ist die Standardabweichung somit ein aussagekräftigeres Streuungsmaß als die Spannweite.
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