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Binärrechner

Besonders in der Welt der Informatik spielen die Binärzahlen Null und Eins eine tragende Rolle. Das Binärsystem ist zudem unter dem Namen Dual- oder Zweiersystem bekannt. Der Sinn liegt darin, Zahlen durch zwei verschiedene Ziffern zu beschreiben. Das Dezimalsystem verwendet die Ziffern von Null bis Neun und beschreibt alle Zahlen, die wir im Alltag gewöhnlich brauchen. Zehn bedeutet auf Lateinisch "Decimus", weshalb Mathematiker den Begriff "Dezimalsystem" anstatt "Zehnersystem" verwenden.


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Informationen über Zahlensysteme

Jede Speicherung von Daten bei Computerchips erfolgt technisch als eine Reihe von 010101010-Ketten. Datensätze, wie bei Texten, Bildern, Audio und Video, ergeben sich aus einer dieser Folgen. Eins bedeutet "An" und Null "Aus". Der Buchstabe "a" entsteht aus der Binärfolge "01100001". Ein Buchstabe besteht aus acht Zeichen, woraus sich der Begriff von acht Bits entwickelte. Diese nennen fachkundige ein Byte, welches jeweils ein Zeichen oder einen Buchstaben beschreibt.

Meist dienen die Symbole 0 und 1 zur Darstellung des Binärcodes, welche in der Programmierung eine große Rolle spielen. Um bei diesen verschiedenen Zahlensystemen einen Überblick zu behalten, entwickelte sich eine konkrete Schreibweise unter Fachleuten. Zur Unterscheidung schreiben sie einen tiefgestellten Index an die Zahlenreihe. Eine kleine Zwei, gibt an, dass es sich um das Binärsystem handelt. Befindet sich eine Zehn neben der eigentlichen Zahl, ist das ein Verweis auf das Dezimalsystem.

 

Geschichte des Binärsystems

Im dritten Jahrhundert vor Christus entwickelte ein altindischer Mathematiker die erste Beschreibung eines Zahlensystems, die aus zwei Zeichen bestand. Zu dieser Zeit gab es die Zahl Null nicht. Im 11. Jahrhundert folgte von einem chinesischen Philosophen die Serie von acht Trigrammen und 64 Hexagrammen.

Leibniz erachtete zum Ende des 17. Jahrhunderts die Darstellung von Zahlen im Dualsystem als überaus wichtig. Es ist anzunehmen, dass die feinmechanischen Fertigkeiten in der damaligen Zeit nicht ausreichten, weshalb Leibniz beim Bau seiner Rechenmaschine das Dezimalsystem nutzte. Erste Beschreibungen über seine Erkenntnisse ergingen zu Beginn des 18. Jahrhunderts in einem Artikel betitelt mit "Explication de l’Arithmétique Binaire".

Auf seiner Grundlage veröffentlichte 1854 der britische Mathematiker George Boole eine Arbeit. Sie beschrieb detailreich ein logisches System, das den Namen Boolesche Algebra erhielt. Aufgrund dieses Systems entwickelten sich die ersten elektronischen Schaltkreise, die die Arithmetik im Dualsystem eingliederte. Die Null bedeutete "Strom aus" und die eins "Strom an". Diese Sprache gilt bis heute als die Computersprache.

 

Berechnung des Binärcodes aus einer Dezimalzahl

Dieser Binärrechner rechnet aus einer bestehenden Dezimalzahl den Binärcode aus. Anderes herum stellt der Rechner aus einer langen Reihe von Binärzahlen, die Darstellung im Dezimalsystem her. Für diesen Vorgang existiert eine Formel, mit der exakt die Umrechnung erfolgt. Alle Ziffern sind jeweils mit ihrem Stellenwert, der entsprechenden Zweierpotenz, zu multiplizieren und am Ende zu addieren. Die Methode nennen Leute in Fachkreisen das Hornerschema, was eine Umrechnung deutlich vereinfacht.

Steht etwa die Zahl 1101 als Binärzahl ergibt sich dadurch die Dezimalzahl 13. Es gilt:

Im Dezimalsystem existiert eine andere Darstellung:

letzte Ziffer der Dualzahl eine Eins, steht fest, dass es sich bei der Dezimalzahl um eine ungerade Zahl handelt. Steht am Ende eine Null, entsteht eine gerade Dezimalzahl.

 

Vom Dezimalsystem ins Dualsystem

Es existieren verschiedene Möglichkeiten für die Umrechnung einer Dezimalzahl ins Dualsystem. Die Divisionsmethode ist die gewöhnlichste Art für diese Berechnung. Für die Durchführung dividiert der Anwender die Dezimalzahl solange durch zwei, bis es nicht mehr weitergeht. Nach jeder Division entsteht ein Rest von entweder Eins oder Null. Am Ende reiht der Rechner alle Reste aneinander und es ergibt sich die entsprechende Binärzahl.

Eine andere Methode stellt eine Reihe von Subtraktionen dar. Der Rechner nimmt die Dezimalzahl heran und zieht davon die größtmögliche Zweierpotenz ab und hält die Wertigkeit Eins fest. Als Beispiel handelt es sich bei der Zahl Zehn als die höchstmögliche Zweierpotenz um   Stellt sich heraus, dass die nächstgrößte Zweierpotenz höher als die übrig gebliebene Differenz ist, entsteht die Wertigkeit Null. Als Beispiel nehmen wir Die nächste Potenz ist   

Dieser Vorgang setzt der Rechner fort, bis keine mögliche Zweierpotenz existiert. Zum Schluss setzt der Rechner alle Wertigkeiten aneinander und der Nutzer erhält als Ergebnis die Binärzahl.

 

Funktionsweise des Binärrechners

Der Nutzer des Binärrechners tippt, in Abhängigkeit davon, welches Zahlensystem er sich wünscht, die Zahl in das dafür vorgesehene Feld ein. Weiter unten befindet sich der Button "Berechnen". Mit dem Klick auf diesen errechnet der Rechner bequem die dazugehörige Binärzahl. Dieser Vorgang erweist sich ebenfalls als nützlich, wenn ein Binärcode besteht. In kryptischer Form ist es für den durchschnittlichen Menschen schwer zu erkennen, um welche Dezimalzahl es sich handelt. Der Rechner liefert das gewünschte Ergebnis in wenigen Sekunden.

Für die Berechnung einer Dezimalzahl zum Binärcode, verwendet der Binärrechner die Divisionsmethode. Das Resultat erweist sich als übersichtlich und brauchbar. Auf Wunsch ist es möglich, das Ergebnis zu behalten. Dafür klickt der Nutzer auf den Button "Drucken", der auf das Druckformular weiterleitet.

 

Beispielrechnung von Dezimal- auf Binärsystem

Im Feld unter "Dezimalzahl" tippen wir als Beispiel die Zahl 18 ein. Darunter bleibt "Binärzahl" frei. Mit dem Klick auf Berechnen erscheint sofort das Ergebnis. In der ersten Zeile sieht der Nutzer, welche Eingabe er machte, in diesem Falle steht   Die Zehn deutet hierbei auf das Dezimalsystem. In der zweiten Zeile steht der Algorithmus für das Binärsystem mit der genauen Ausführung, wie der Rechner zu dieser Zahl kommt. In unserem Beispiel steht deshalb:

In den darauffolgenden Zeilen findet sich die Division anhand der Divisionsmethode. Im ersten Schritt teilt sich 18 durch zwei, dessen Ergebnis neun ist mit einem Rest von Null. Nachfolgend erhält der Rechner als Ergebnisse jeweils Reste von Eins, Null, Null und Eins. Daraus ergibt sich als Endergebnis die Binärzahl 10010, dessen die zugehörige Dezimalzahl 18 ist.

 

Beispielrechnung einer Binärzahl ins Dezimalsystem

Für die Errechnung der Dezimalzahl tippt der Nutzer die Zahl ins Feld unter dem Begriff "Binärzahl" ein. Der Platz bei "Dezimalzahl" bleibt dieses Mal leer. Mit dem Klick auf den Button "Berechnen" startet der Rechenvorgang. Im darunterliegenden Textfeld erscheint nach wenigen Augenblicken das gesuchte Ergebnis.

Das Ergebnis besteht aus mehreren Zeilen, wobei in der ersten die Eingabe steht. Die kleine Zwei steht für das Dualsystem des Binärcodes. In der nachfolgenden Zeile befindet sich die Aufschlüsselung des Codes. Woraus sich das Ergebnis wie folgt ergibt.

Aus der Binärzahl 10010 errechnet sich die Dezimalzahl 18.





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