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Primzahlen berechnen

Primzahlen zu berechnen, lernten Sie in der Schule. Die Begriffe kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) und ggT (größter gemeinsamer Teiler) sind bedeutende Gebiete im Lehrplan. Die Zahlen, die nur durch eins und durch sich selbst teilbar sind, nahmen in der Mathematik seit jeher einen besonderen Platz ein.

Berühmter Wissenschaftler, darunter Euklid, Euler und Fermat entwickelten Sätze zu diesem Thema. Der Primzahlen Rechner hilft, große Zahlen dieser Spezies, ohne Aufwand herauszufinden.

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Was sind Primzahlen?

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die genau zwei andere natürliche Zahlen als Teiler haben, nämlich eins und sich selbst. Der Begriff stammt vom lateinischen "numerus primus" ab, was die erste Zahl bedeutet. Die Eins erfüllt die Bedingungen, gehört aber nicht zur Menge der Primzahlen.

Grund dafür ist, dass Sie nicht als Produkt zweier verschiedener Teiler darstellbar ist. Jede andere natürliche Zahl ist ein Produkt zweier Primzahlen. Die Grundlage dieser Aussage zum Primzahlen berechnen bildet das Lemma von Euklid: Wenn ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar ist, teilt sich mindestens einer der Faktoren ebenfalls durch sie.

 

Bedeutung von Primzahlen in modernen Verschlüsselungen

Die meisten Verschlüsselungs-Verfahren basieren auf der Primfaktorzerlegung. Dazu gehört das Sicherheitsprotokoll im Internet. Große Zahlen mit wenigen großen Primzahlen als Faktoren bieten Schutz, da ihre Berechnung unter enorm hohem Aufwand stattfindet. Die unbekannte Primfaktor-Zerlegung der Code-Zahlen ist der Schlüssel zur Sicherheit. Vorher kam den Primzahlen kein existenzieller Wert zu. Im Zeitalter der Datenübertragung spielen Sie eine wichtige Rolle in diversen Verfahren.

Das RSA-Verfahren besteht aus der Veröffentlichung zweier Zahlen e und n. Letztere ist ein Produkt aus zwei sehr großen Primzahlen p und q. e hat keine gemeinsamen Teiler mit (p-1)*(q-1). Die beiden veröffentlichten Zahlen dienen der Verschlüsselung von Nachrichten für den Besitzer des Schlüsselpaares. Er ist der Einzige, der p und q kennt.

 

Wie funktioniert der Primzahlen Rechner?

Sie geben die kleinste und größte Zahl ein für den Bereich, indem Sie die Primzahlen berechnen. Nach dem Klick auf das Feld "berechnen" zeigt es in der Box alle Primzahlen innerhalb der eingegebenen Grenze an. Der Rechner berechnet alle Primzahlen zwischen eins und 100 000.

In diesem Bereich gehören 9,6 % der Nummern zu den Primzahlen. Das sind 9592. Je weiter die Grenze, desto kleiner ist der Anteil an Primzahlen. Der Rechner hilft, Primzahlen in einem kleinen Bereich in einem kurzen Moment, ohne Aufwand zu berechnen.

Geben Sie in der Zeile von ____ bis ____ die Grenzen des gewünschten Intervalls ein, beispielsweise von 1 bis 100. In der Ergebnisbox erscheint zuerst der folgende Satz: 25 Primzahlen zwischen 1 und 100 gefunden: Im Folgenden stehen die Primzahlen der Größe nach geordnet aufgelistet. Es ist möglich, Primzahlen schriftlich zu eruieren. Dazu benötigen Sie Zeit und Kenntnis eines Themas, das in der Grundschule Gegenstand des Mathematikunterrichts ist: die Primfaktor-Zerlegung.

 

Was ist die Primfaktor-Zerlegung?

Jede natürliche Zahl ist in Primfaktoren zerlegbar. Falls bei diesem Prozess das Ergebnis eins und die Zahl selbst sind, handelt es sich bei der Ausgangszahl um eine Primzahl. Jede andere Zahl ist in ein Produkt von mindestens drei Primzahlen zerlegbar. Das Verfahren ist im Kopf nur bei kleineren Ausgangzahlen möglich. Der Primzahlen Rechner wendet es für Zahlen bis 100 000 an. Als Beispiel dient 121. Wir wissen, dass alle Zahlen durch 1 teilbar sind. Deshalb lautet die erste Frage: Ist 121 durch zwei teilbar?

Da jede Zahl nur durch zwei teilbar ist, wenn die hinterste Ziffer 2, 4, 6, 8 oder 0 lautet, ist die Frage zu verneinen. Als Nächstes testen Sie, ob 121 durch drei teilbar ist. Dazu bilden Sie die Quersumme. Falls die Frage für diese positiv ausfällt, ist die Ursprungszahl ebenfalls durch drei teilbar. In Falle von 121 gilt dies nicht. Vier ist auszulassen, da dies keine Primzahl ist. Die Teilung durch fünf ist nicht möglich, da die letzte Ziffer weder eine Fünf noch eine Null ist.

Der nächste zu testende Primfaktor ist sieben. Sie zerlegen die Zahl in Teile, die einfach zu teilen sind. 121 ist 70 plus 49 plus zwei. Als Nächstes testen Sie elf. 121 ist 110 plus elf. Ergebnis: 121 ist elf Mal durch elf teilbar. 121 = 11 * 11. Dies ist die Primfaktorzerlegung der Zahl 121. Mit diesem Verfahren können Sie für jede natürliche Zahl die Primzahl berechnen. Je größer sie ist, desto aufwendiger das Verfahren. Trotzdem erhalten Sie damit beim Berechnen der Primzahlen die exakte Zerlegung.

 

Das Sieb des Eratosthenes

Mit dem Sieb des Eratosthenes eruieren Sie wie der Primzahlen Rechner die Primzahlen eines gewissen Bereiches. Schreiben Sie zur Findung der Primzahlen alle Zahlen größer als eins bis zur Grenze m auf. Streichen Sie als erstes alle Vielfachen von zwei. Von den übrig gebliebenen Zahlen streichen Sie die Vielfachen der kleinsten nicht markierten Zahl, in diesem Falle drei. Dieser Schritt wiederholt sich so viele Male, bis nur noch die Primzahlen übrig bleiben. Eratosthenes lebte im 3. Jahrhundert vor Christus. Das Verfahren war schon früher bekannt, er gab ihm nur eine Form und einen Namen.

 

Eigenschaften von Primzahlen

Nebst der Tatsache nur durch eins und sich selbst teilbar zu sein verfügen Primzahlen über weitere charakteristische Eigenschaften. Alle Primzahlen außer der Zwei sind ungerade. Dies ergibt sich durch den Fakt, dass alle geraden Zahlen durch zwei und somit durch mehr als zwei Faktoren teilbar sind. Jede Primzahl außer zwei hat somit die Form 2k + 1" mit einer natürlichen Zahl k. Sie gehört entweder zur Klasse "4k + 1" oder "4k + 3". Wenn p die Form 4k + 1" hat ist jede Primzahl größer als zwei in der Form a2 + b2 darstellbar.

Primzahlzwillinge sind Paare von Primzahlen, die sich um zwei unterscheiden. Die Kleinsten von ihnen sind (3,5), (5,7), (17,19) und (29,31). Der Primzahlen Rechner berechnet automatisch aus dem gewünschten Intervall bis 100 000 die Primzahlen aus. Sie sparen Zeit und sind sicher, dass bei der Berechnung kein Fehler geschieht.





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